Felix Maocho

Para quien le interese lo que a nosotros nos interesa

El Número áureo, o la división armónica de un segmento en dos

Por Félix Maocho
3/11/2015

Decíamos en un post anterior dedicado al número Pi (π), que es como si, entre la inmensa e inconmensurable constelación de los números que existen, un puñado, reúne para cada uno de ellos, sin ninguna razón lógica que las relacione, inesperadas y variadas propiedades, mientras que el resto de números, inabarcable constelación que les acompañan y rodea, no poseen ninguna. Estas acumulación de propiedades, aparentemente inconexas, de determinados números, hacen pensar, como si los Dioses, les hubieran distinguido de entre todos por algún extraño designio.

El otro día hablábamos del más conocido de estos números, el número Pi (π), que era entre otras raras y variada propiedades, un elemento que aparece sorprendentemente,  en casi todas las relaciones geométricas que se relacionan con la circunferencia, asi como el valor de series de lo más variopinto de números.

Hoy hablaremos de otro algo menos conocido pero también asombroso, el número Fi (ɸ), que tiene aun más propiedades  igualmente curiosas y extravagantes y aparentemente inconexas, por lo que necesitará varios post par poder presentarlas por su variedad y rareza, por lo que dedicaré varios post a este tema. (Tranquilos No seguidos para no aburrir al personal)

Comienzo  por señalar que como ocurre con Pi (π), al numero Fi (ɸ) se le conoce desde la antigüedad, y aun a nbos se le siguen encontrando nuevas propiedades. A Fi (ɸ) se le llamó por su importancia el “número áureo” o sea el “número de oro·, pues si nos topamos con π constantemente en las obras del hombre, lo que es comprensible, porque todos nuestros mecanismos están basados directa o indirectamente en la rueda,  aparece ɸ constantemente en la naturaleea lo cual tampoco nos debe sorprender, pues está relacionada con el cambio de escala manteniendo las propiedades, es decir en el crecimiento armónico de las cosas, tanto vivas como las plantas o el sistema venoso, si incluso inerte, como las sales y los cristales y por ende, de las montañas y el universo. Así que veremos que en la naturaleza nos topamos con ɸ en todos los lados.

En matemáticas modernas se le suele denominar Fi (ɸ), aunque a veces se le encuentra bajo la denominación de la letra griega Tau (Τ) por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, pues está muy relacionado con los objetos a escala como tambien podrí llamarse crecer.pues como veremos ɸ actúa en las dos direcciones.

Matemáticamente se le define como la relación resultante de partir un segmento en dos trozos. que llamaremos “a” y “b”, de modo que se cumpla la siguiente Rregla de Tres)

La longitud total “a+b”  es al segmento más largo “a”, como el segmento largo “a” es al segmento corto “b”. Como nos indicaron para la Regla de Tres, si se cumple, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:

Lo que también podemos escribir como:

a² = b(a+b) = ab + b²   ó lo que es lo mismo    (a²-b²) = a b

y por otra parte como la diferencia de cuadrodos es lo mismo que el producto de la suma por la diferncia

(a+b) (a-b) = a b                   

o lo que es igual dividiendo primero por a y luego por (a-b)

                                           (a + b) (a – b)                                           (a + b)             b
                                         ———–—– = b                   —>       –——— = –——-
                                                   a                                                            a          (a – b)

Pero iniciamos diciendo que

(a + b)      a
                                                 –—– =  –
                                                     a          b

luego hay una relación Fi (ɸ) que cumple

         (a + b)      a         b
                                                ɸ = –——- = – = –——
                                                             a           b       (a – b)

Lo que es lo mismo que decir que si dos segmentos están en la proporción ɸ se cumple que la suma de los dos es al mayor como el mayor es al menor y como el menor es a la diferencia de los segmentos.

Lo que nos falta es calcular es el valor de ɸ pero al tener dos ecuaciones podremos resolver el problema y aun nos sobra una ecuación más.

 a
                                            ɸ = ––       De donde       ɸ b = a
                                                      b

Sutituinos a por su valor en la otra ecuación

a + b                    ɸ b + b         ɸ + 1
ɸ = –—–     →    ɸ = ——–   =  ——–
a                          ɸ b                ɸ

Multiplicando esta última igualdad por  ɸ

ɸ² = ɸ + 1 –                    –>                     ɸ² – ɸ – 1 = 0

Y si recordamos la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado :

En este caso a = 1, b =-1 c =-1 luego :

 

Recaapitulemos o que heos descubierto hasta el momento

Cualquier segmento de recta. se puede partir en dos trozos de modo que al dividirlos guardem una relación  que llamamos aurea de modo quw llamando a al trozo más grande y b al pequeño, se cumpla que la totalidad de los dos trozos (la suma) es almás grande como el grande es al pequeño y como el pequeño es a la diferencia de los dos trozos y esa relacion la llamamos “Aúrea” y tiene un valor de

,

Pero asi como hemos encontrado su segmento, (la suma), que guarda la relación con el segmento grande grande, tambien tenemos encontrado un segmento (la diferencia) que guarda la relación con el pequeño. Por tanto:

Ppodemos indefinidamente econtrar nuevo segmentos cada vez mas grades (la suma de los dos anteriores que guardan la relación aúrea con el segmento más grande, como podemos encontrar siempre un segmento más pequeño (la resta), que gurda la relación áúres con el  pequeño y esto se puede repetir tantas veces como queramos.

Lo que nos permite aumentara o diminuir tanto como queramos los trozos por este procedimiento, de modo que los segmento resultantes conserven la misma propiedad. De aquí que a veces se le conozca por la letra griega Tau (Ττ) por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, Este numero permite lo mismo acortar o aumentar indefinidamente un objeto guardando sus semejanza.

Antes de acabar no en resisto a no enseñar la forma forma de calcular ɸ sorprendenteemente sencilla que fue descubierta hace solo dos años, en el año 2013 y por dos españoles Merio Toboso y Javier Romañach. Avancemos que hay unas 20 formas diferentes de obtener dos segmentos en la proporción áurea, pero esta es a mi juicio, la mas sencilla. Para ello solo necesitamos crear un “Triángulo hernético”  que oculta en su interior el valor de ɸ.

Y ¿qué es un Triángulo Hermético?, pues algo muy sencillo pese a su rimbombante nombre, un triángulo rectángulo en que su cateto mayor dobla el cateto menor. Como todos sabemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo al cuadrado vale la suma de los catetos al cuadrado Por tanto, si tomamos cualquier Triángulo Hermético por ejemplo uno que tenga de cateto pequeño el valor b, el lado grande a valldrá 2b y el cuadrado de la hipotenusa valdrá

h² = a² + b² = (2b)² + b² = 5 b²

o lo que es lo mismo la hipotenusa es igual al valor del cateto pequeño multiplivcado por raiz cuadrada de 5. Lo voy a escribir a mano porque es complicado escribir raices cuadradas con el teclado.

P1050319 (2)

 

O sea partiendo de un “Triángulo Hermético” hemos llegado al valor que habiamos dado a ɸ como la relación de la suma de la hipotenusa y el lcateto menor respecto del cateto mayor.

Por tanto para encontrar un segmento que sea mayor en la proporción áurea, a un segmento cualquiera basta hacer un “·Triangulo de Hermético” o sea u triangulo rectángulo, de cateto grande el segmento y el cateto menor la mitad de esta distancia, Sumando a este cateto menor la hipotenusa este segmeento suma esta en proporción aures con el  cateto mayor.

P1050320 (2)

Curioa relación del todo inesperada, que existía ahí desde siempre y que nunca hasta hace dos años nadie se había fijado, pese a ser los “Triángulos Herméticos” unas figuras geométricas estudiadas hasta la sacieda,d por otra muchas propiedades que tienen.

Félix Maocho

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3 noviembre 2015 - Posted by | ciencia | , , ,

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