Felix Maocho

Para quien le interese lo que a nosotros nos interesa

El Numero π, buscado por los hombres y elegido por los dioses

Por Félix Maocho
25/9/2015

Existen infinitos números enteros. Por grande que sea el numero que imaginemos, siempre hay uno una unidad mayor.

Además. entre cada dos números enteros consecutivos, existen infinitos números fraccionarios. Basta con añadir a un número entero cualquiera, entre los infinitos números enteros que existen, una coma y otro numero entero cualquiera y obtendremos un número decimal, por ejemplo al numero 972 le podemos poner añadir 2l decimal 28 y a este el 74 y luego el 203, … :

972 → 972,28 → 972,2874 → 972,2874203 → ….

Siempre se puede generar un nuevo decimal, añadiendo a la cola de un decimal  otro número entero cualquiera. Podemos pues rellenar cada uno de los los infinito huecos que dejan los números enteros consecutivos, con infinitos números fraccionarios. Luego el conjunto de números fracionarios es doblemente infinito comparado con los números enteros.

Pero además aun existe otro universo de grupo infinito de número, que se forma a partir de cadaa uno de los los números fraccionario, que se forman añadiendo a la cola de estos números fraccionarios, una sucesión cualquiera de números enteros de modo que la cola se haga infinitamente larga.

972,2874203,94080394705972048752’987649444586 ….

Estos son los números irracionales, que no se pueden escribir con exactitud, porque para expresarlos habría que escribir una cola de números tan larga que nunca podremos llegar al final de la cola, para modificarlos como pasaba en los fraccionarios, porque ese final no existe. Aun no heos hablado de los números negativos, que son simétricos a los positivos, ni de los imaginarios que son los números que multiplicados por si mismo dan como resultados un número negativo.

Así pues, solo el universo matemático de los números positivos está formado por una apretada nube triplemente infinita de números, que la imaginación no puede ni abarcar, aunque si vislumbrar y sobre todo vislumbrar  por caminos indirectos. AsÍ por ejemplo, sabemos que si todos esos números enteros entraran en un bombo para un sorteo, podríamos comprar tantos número diferentes como quisiéramos de esa rifa, con la convicción, que en ningún caso saldríamos premiados, pues la probabilidad de que toque uno de nuestros números, es cero, fuera cual fuera la cantidad de números que lleváramos.

Pero sin embargo curiosamente, podemos asegurar que con toda seguridad, que un número irracional sera el que tenga el máximo premio, porque el infinito de los números irracionales, es infinitamente más “compacto” que el de los números fraccionarios y estos a su vez, que los números enteros, que siendo infinitos, no son mas que unos números singulares y muy extraños dentro de la familia de los números, algo mucho más raro que un albino entre los humanos.

Pues en ese mar infinito de números, hay algunos números, naturalmente irracionales, premiados con una serie ventajas que no gozan ninguno de los demás del universo de los números, y que es difícil de explicar por qué ellos las tienen y todos los demás números no. Los más conocidos entre el común de la gente, son el número pi, (π), fi (Φ) y e. unos de los pocos números irracionales que conocemos con toda precisión, aunque no sepamos escribirlos en un papel, porque como son números irracionales, todos los papeles del mundo serían insuficientes para poder escribir su cola de decimales.

Hay un puñado pequeñito de otros números premiados que aparecen en el mundo de las matemáticas y de la física , como el Número e, base de los logaritmos naturales, la Constamte de Plank, “h”, el Número de Avogadro, o la velocidad de la luz, estos procedentes de la física a diferencia de los números procedentes de las matemáticas, son número de los que sólo conocemos su valor aproximado, pero no su valor exacto y por ello, ni siquiera podemos saber con exactitud, si hablamos de número irracionales, o fraccionarios. Les dejo una lista de estos números premiados con una propiedad mas o menos raras que me he encontrado en la Wikipedia

 

En este post vamos a hablar de uno de ellos el más conocido por todos nosotros el número pi, (π)

Pi (π) aparece es en primer lugar  la relación entre la longitud del diámetro de una circunferencia y su perímetro Observen la figura, si trazamos recta en la que ponemos una marca cada distancia equivalente al diametro de una esfera que rueca sobre ella. ¿Cuantos diámetros andaremos por cada vuelta de la rueda. pues tres y un poquito, esa cifra tres y un poquito es π

Los primeros que se preocuparon de este asunto fueron,  lógicamente, los que hacían carros en Babilonia, pues para calcular la llanta de la rueca, deseaban saber la longitud del exterior de las ruedas en función de los radios de la rueda. Ellos fueron los que descubrieron que era tres radios y un poco. A partir de ahí aparecieron los primeros estudios que posteriormente los continuaron una civilización tras otra.

Estamos tan acostumbrado que nos parece natural que la relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia sea fija, pero es una cosa muy curiosa que nunca nos hemos planteado. ¿Por qué es fija esta relación?, ¿Por qué no cambia segun la rueda se hace más grande o más pequeña, y siempre cubre al rodar la rueda tres diametros y un poquito y siempre es lo mismo?. – Yo al menos, no lo se de forma segura, en mi bachillerato, sólo me dijeron que la longitud de la circunferencia era 2πr siendo r el radio de la circunferencia. Intuyo que tiene que ver con la proporcionalidad que tienen los segmentos cortados por dos paralelas.

El griego Thales de Mileto, demostró que los segentos de dos rectas cortados por unas paralelas son proporcionales es decir

 

 

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,

,

 

De ello  se deduce facilmente que en dos triángulos semejantes los lados son proporcionales

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razones

,

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Como un círculo se puede subdividir eb tantos triangulos como queramos, y en ellos se cumple que dos triangulas semejntes, los formados por secantes paralelaas a dos circulos que tienen el mismo centro, tiene los lados paralelos, cuando esos triángulos tienden a infinitos lados de longitud cero ee confunden arcos y secantes, por lo que los arcos serán también semejantes como lo son las secantes

Precisamente la diferencia entre la longitud del polígono interior y exterior a una circunferencia es uno de los métodos más antiguos de caluclar Pi (π)

Claro esta Pi (π) interviene en la relacion entre el diametro y la superficie del circulo, de la superficie de la esfera y del volumen de la esfera. Las formulas concretas son:

  • Longitud de la circunferencia L = 2πR
  • Superficie del círculo S = πR²
  • Superficie de la esfera S = 4πR²
  • Volumen de la esfera V = 4/3πR³

Estas fórmulas me las enseñaron en la infancia y aun las recuerdo, pero en cambio nadie me dijo de donde salen y ahora que soy mayor me entra curiosidad por qué en todos aparece π, pues aceptando que sea hasta lógico, que hay una ralación entre el radio y esas longitudes, superfícies y volúmenes no me resulta nada intuitivo que en esa relacion tenga que aparecer sin faltar el numero π y menos acompañado por parámetros, que son números fijos y enteor pero raros como es el 4/3 del volumen de la esfera.

¿Quieren creer que en ninguna parte de Internet he encontrado ni como se deducen esas fórmulas ni la razón que en todos aparezca π? ¿ Será un Secreto de Estado?

Desgraciadamente yo tuve un bachillerato, (y no ha sido el peor)m basado en fomentar la memoria, más que la inteligencia y sobre todo basado en creer en los Dogmas mas que en curisear por aquí y por allá, que para eso ya estaban las Autoridades fueran académicas, religiosas, o políticas.  Se nos hacia aprender las fórmulas, pero no el por qué de estas y menos aun como se deducían. Si alguien sabe por qué aparece siempre el número π, quedaré agradecido si me lo explique, o el menos me dice donde lo explican en Internet, pues yo no he podido averiguarlo.

Y no acaban aquí las cosas curiosas. Arquimedes demostró que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la contiene y que su superficie es también dos tercios del cilindro que la contiene. Si quieren fardar de saber tanto como Arquimedes les diré que es fácil partiendo de las formulas de la esfera y del cilindro de radio R y altura 2R. Si no dan con ellos q aquí les dejo un enlace que lo explican 

Sin embargo es imposible encontrar una relación sencilla ni en longitud ni en superficie entre la circunferencia y el cuadrado que lo contiene algo que en principio, después de esto que ocurre en la esfera, parece que debería no ser complicado, pero no se ha encontrado, por ello cientos de matemáticos se han estrellado buscando la “cuadratura del círculo” un problema parecido que es relacionar la superficie del círculo con la de un cuadrado.

Lo que se llegó a conseguir, es demostrar que no existe relación entre el círculo y el cuadrado por lo que la “Cuadratura del círculo” es un problema de imposible solución, por lo que tal expresión ha pasado a ser sinónimo de intentar resolver cosas imposibles.

Tambien en la antigüedad pretendian definir π como el cociente de dos números enteros pues se sospechaba que era un número fraccionario y no irracional, asi se llego a definir π con bastante precisión de las siguientes maneras:

  • π = 22/7 = 3,1428… (Arquímedes, siglo III a.C.)
  • π = 377/120 = 3,14166…, (Ptolomeo, siglo II d.C.)
  • π = 355/113 = 3,141592.., (Tsu Ch’ung-Chi, siglo V, dC)

Y asi seguiríamos hoy buscando cocientes de números cada vez más grandes que dieran mejor aproximación si en 1767 el matemático Johann Lambert demostró que π no podía expresarse en forma de fracción, es decir, que π era irracional y que nunca se encontraría una fracción que diera el valor exacto de π aunque sí números que al dividirse dieran una aproximación mayor. A partir de ahi los descubrimientos se precipitan y en 1794 Legendre prueba que π2 también es irracional. En 1882 el alemán Lindemann demuestra que π es trascendente.

¿Cual es la diferencia entre irracional y trascendente? – Pues muy sutil, pero muy profunda, a ver si consigo explicarla de forma tan clara como ue se me emtienda

Un número trascendente, es un número real, (como dije también existen los números imaginarios pero de esos hablaré otro dia), que no son solución de ninguna ecuación algebraica, es decir con coeficientes enteros no todos nulos. O sea en nuestro lenguaje garbancero, un número trascendente es aquel, que no se trat de ninguna forma con los raros números (albinos) enteros. Por tanto, no es nunca un numero fraccionario o decimal, pues eso siempre se pueden definir como una fraccióm de dos números enteros.

Ello supone, (entre otras cosas), que la “cuadratura del círculo” es imposible, porque el área del círculo es proporcional a π (πR²) mientras que el area del cuadrado es L², por tanto no hay ninguna relacion entre ambas áreas.

También indica que los decimales de π, constituyen una sucesión ilimitada no periódica de números aleatorios, impredecible e indeterminable. Lo cual es muy importante, porque en la naturaleza carecemos de medios de generar números aleatorios verdaderos, solo generamos series de números muy largas que no se repiten por lo que lo parecen, pero no son aleatorias puras, cada elemento de la serie se deriva de alguna forma del anterior.

Apartir de estos descubrimientos, los esfuerzos de los matemáticos se centraron en conseguir sistemas que dieran aproximaciones a π tan buenas como se precisaran. Hoy se conocen medios de calcular π con millones de decimales, e incluso es una prueba típica de la velocidad de cálculo de un ordenador, pues son series sencillas de definir pero muy laboriosas de contar como por ejemplo la siguiente.

En 1665, el inglés John Wallis descubre una forma de calcular π  mediante la serie de multiplicaciones infinitas :

π/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * …,

Lo cual es magnífico, pues solo tenemos que tomarlo con paciencia, pues a medida que tomemos más términos mejoramos la aproximación de π, pero que desafortunadamente, su convergencia es tan lenta, que casi no nos acercan a la meta cuando tenemos un puñado de decimales.

Poco después, en 1674 el alemán G. Leibnitz da con otra serie que suma y resta valores para calcular el valor de π

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 – …

que a un siendo más rápida que la anterior, tiene el mismo defecto, resulta desesperantemente lenta, tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Habían marcado una senda que llevara al calculo de π pero aunque la direccion era correcta ell sendero no era practicable

En la búsqueda de una serie que de rápida aproximación a π se encontró esta:

π/6 = (√3)/3 * ( 1 – 1/(3*3) + 1/(5*32) – 1/(7*33) + 1/(9*34) – … )

Que tiene una aproximación muy buena, pero que traslada el problema a calcular la raiz de 3 con muchos decimales lo cual tampoco es nada cómodo.

Euler dio muy buenas aproximaciones que convergían muy rápido basadas en la trigonometría, como por ejemplo esta,

π/4 =arc tan (1) = arc tan (1/2) + arc tan (1/3)

con lo cual traspasaba el calculo de decimales de π al cálculo de decimales del arco tangente que es mucho más cómodo.

Desde que existe el computador, una forma de medir su potencia es ponerle a calcular decimales de π pues cada decimal de más que se calcula conyea un esfuerzo que crece de forma expotencial. En 1949 el ENIAC calculó 2037 decimales en 70 horas, en 1966 un IBM 7030 llego a 250.000 decimales en 8 h y 23 min. en el año 2004 un superordenador Hitachi estuvo trabajando 500 horas para calcular 1,3511 billones de lugares decimales.

Porque lo que es más raro de este numero, (o al menos así nos lo parece a los no matemáticos), es que existiendo un número inconmensurable de números de todos los tipos, en principio parecería lógico toparse con π en cualquier tema relacionado con revoluciones como la superficie de un cono, incluido superficies cónicas como los hiperboloides de revolución o “sillas de montar”, que al fin y al cabo son superficies de la familia de las cónicas como las esferas, que tambien entre en la formula del volumen del toro (o sólido con la forma de un Donuts). Incluso en ondulatoria resulta razonable que aparezca de vez en cuando π, pero resulta extraño y estadísticamente incomprensible, que cada dos por tres, se cuela π en cálculos que nada tienen que ver con ese tema

Por ejemplo, el los caso anterior donde π es el valor de una serie de terminos formados por los, (que habíamos quedado) rarisimos números “albinos” enteros que además es son inmiscibles con los números trascendentes. O que π aparece cuando buscamos la probablilidad que tomados dos números enteros al azar por ejemplo es 3756238 y el 8743 mo sean primos entre si ( no tengan ningún divisor común) es 6/π más o menos 1,91% de los casos habremos tomado dos números primos entre sí.

Ahora coge esos mismos dos números cualesquiera, o cualquier otra pareja de números y el numero 1 y construye con ellos un triangulo con lun lado la unidad y los otros lo dos el cero, segudo de uno de los numeros como decimales. El triángulo construido puede tener, o no, un ángulo obtuso ¿cual es la probabilidad de que lo tenga, pues nada más mi nada menos que (π-2)/4=0’2878, o sea en el 28’78% de los casos.

Si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ

He puesto casos que he encontrado por ahí, (y que no se demostrar), de tropiezos insospechados que los mejores matemáticos han tenido con el número π, pero hay casos no tan rebuscados.

Si me preguntaras a mi porqué las estadísticas están tan relacionadas con el número π, diría que es porque en muchos casos, en el fondo, lo que buscamos con las estadísticas, es descubrir la probabilidad de que un tiro, disparado cumpliendo en ciertas condiciones, de en una diana, y como la diana es un círculo, pues implícitamente la respuesta lleva inserta el número π pero en las series que he indicado,  pues ni idea depor qué aparece. ¿Será π el número favorito de Dios?.

Por ejemplo Hans-Henrik Stolum, de la Universidad de Cambridge, hizo un estudio de la longitud de los ríos desde su nacimiento hasta su desembocadura, y su longitud en línea recta, descubriendo que la relación entre estas dos longitudes es aproximadamente 3,14. ¿Está π por medio o es casualidad?

Por último, pisemos tierra, la realidad indica que no es de mucha utilidad recordar mas de 4 o 5 decimales de π por que nuestro medios de medida tienen unos margenes de error tan grandes, que no se sabe apreciar el hercúleo esfuerzo esfuerzo que hemos hecho los humanos en calcular los decimales de π, pero por si alguien lo necesita, hay un método muy fácil de memorizar los 32 primeros decimales de π . Basta recordar esta frase de Rafael Nieto París que se rindió ahí, por no saber expresar el primer cero que se encontró

“Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.”

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Por último no puedo menos que presentar la mas extraña de todas las fórmulas que encontrarán en su vida pues asocia dos numeros famosos y otro no menos extraño el numero uno imaginario

Es decir el numero e (o base de los logaritmos naturales, elevado a π multiplicado por el numero imaginario i mas el entero (albino) suman cero o s1 ea la nada. Sinceramente no se que quiere decir esta fórmula, mi cabeza cartesiana se niega a comprenderla, pero no es menos cierto que creo en ella a pies juntillas, sea lo que quiera explicar, se que esto es la Voz de Dios sea Dios lo que quiera que sea.

Fálix Maocho

25 septiembre 2015 - Posted by | ciencia | , , ,

2 comentarios »

  1. Hola Félix, soy un lector asiduo de tu web, me gusta tu desarrollo sobre los números pero me ha “empachao” un poco, pero te animo a seguir con tu web porque es divertida y sobre todo muy variada. Saludos

    Comentario por Manuel | 25 septiembre 2015 | Responder

    • Lo lamento de veras, pero me parece normal. Yo solo considero probable, que a cada uno de mis lectores, solo le gusten tres o cuatro de los temas que toco, pretender que les interesaran todos, sería ridículo por mi parte. Para tu tranquilidad, supongo que el siguiente de este tipo, aparecerá más o menos dentro de un mes, el siguiente va de lechugas, salvo que se me cruce otra idea por el camino. Saludos y gracias por leerme, al menos de vez en cuando,

      Comentario por felixmaocho | 25 septiembre 2015 | Responder


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