Felix Maocho

Para quien le interese lo que a nosotros nos interesa

Embaldosado o teselado del plano con poligonos iguales

Por Félix Maocho
20/8/2015
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Lo que las personas comunes conocemos como embaldosado de una superficie, los matemáticos lo llaman teselar el plano con polígonos iguales. Como es sabido, los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: triánguloss, cuadrados y hexágonos regulares. Estos son los únicos teselado regulares, o sea aquellos que cubren el plano con todos los polígonos regulares iguales.
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..El problema se complica cunado nos referimos a polígonos irregulares, pues encontramos polígonos irregulares de extrañas formas ye muchos lados que teselan el espacio. Por ejemplo este

Esto hace sumamente complicado generalizar nada sobre el tema. Ahora bien sobre polígonos convexos, es decir, con todos sus ángulos interiores menores de 180ª, la cosa esta bastante más clara.

La primera cosa que esta demostrada, es que polígonos convexos de mas de seis lados no pueden embaldosar el plano. Así pues nuestro campo de acción se reduce a Triángulos, Cuadriláteros, Pentágonos y Hexagonos.

Cuadriláteros 

Otra seguridad que tenemos es que cualquier cuadrilátero, sea cóncavo o convexo puede teselar el espacio, para ello basta hacer las siguientes operaciones con el cuadrilátero

  • 1.- Pegar por los lados iguales otro simétrico.
  • 2,- Pegar otra pareja igual a la formada, por el lado igual, formando así una tira de cuatro cuadriláteros, un par iguales y un para simétrico intercalado.
  • 3.- Pegar tiras iguales a la tira formada, tal como indican las figura para cuadrilíteros cóncavos y cnvexos que vienen a continuación

tesela concava (2)

tesela convexa (2)

Si dudan que esto sea posible con cualquier cuadrilátero sea el que sea, en la página, de Geogebra.org una página dedicada a herramientas matemáticas para enseñantes ,donde he tomado estas imágenes, tienen un modelo, donde pueden jugar como quieran con los vértices azules del cuadrilátero y transformarlo en cualquiera cuadrilátero que se te ocurra y verán que siempre se crea una malla de cuadriláteros iguales que cubre todo el espacio.

No he sabido trasplantar su grafico interactivo a mi página, pero aconsejo que te des una vuelta por ella pinchando aquí 

Esto se una consecuencia derivada del Teorema de Varignon, que demuestra, que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero, forman un paralelogramo, llamado por ello Paralelogramo de Varignon, que tiene la mitad de la superficie que el cuadrilátero, con lo que se puede teselar el espacio, con solo seguir la receta que hemos indicado más arriba. Es el llamado método de la Malla Invisible

Si observan los dibujos de los tos teselados anteriores, la Malla Invisible de paralelogramos viene formada por unas lineas finas que cruzan cada lado por su punto medio.

Triángulos 

Lógicamente si un cuadrado cualquiera tesela el espacio, un triangulo cualquiera lo teselará también pues basta unir dos triángulos iguales o simétricos por un lado para obtener un cuadriláteroo, que ademas si es con un simétrico es un paralelogramo.

Claro está, que hemos podido demostrar que un cuadrilátero cualquiera tesela el espacio, pero no que sea la UNICA  teselacion posible.´pues como hemos visto en el caso de los triángulos según pes emparejes, con un triangulo igual o un simétrico tendras dos teselaciones diferentes. Pero esque ademas hay cuadriláteros que teselan de varias formas el espacio.

Pensemos en un ladrillo, el ladrillo tesela el plano bien poniendo los ladrillos unos sobre otro formando filas y columnas como si fuera una especie de ajedrez,  o deslizar una fila de modo que queden como habitualmente se forman los tabiques o aun mas complicado formando zigzag.

Claro que está propiedad es un caso especial que solo se da en los rectángulos y paralelepipedos  (vealo en la pespectiva del suelo enlac drillado9. Pero no se puede generalizar  a todos los cuadriláteros

Pero no es el único caso, hay teselados con cuadriláteros irregulares que no siguen el proceso de la Malla Invisible. Como estos hecho con rombos

O estas dos mas complejas

O este hecho con cuadriláteros no rectangularas, que para colmo tiene otra forma posible de hacerlo

Este tipo de cosas son las que ponen de los nervios a los matemáticos, saber que algo no se cumple, pero desconocer cuantos casos hay que no cumplen y no haber encontrado una regla que abarque todos los casos que existen.

Así que si tiene ingenio y le gusta la geometría, pueden explorar la forma de teselar el plano con cuadriláteros de forma que no forman la Malla Invisible, o que consigan una Malla Invisible diferente a formar filas y columnas en las direcciones de los lados del paralelepípedo.

El Logo que es un lenguaje gráfico muy potente de programación y muy sencillo de manejar puede ser una buena herramienta para hacer este tipo de estudios. Aquí tiene un sitio gratuito donde aprender LOGO

Hexágonos

Lo que en cambiopuso muy contentos a los geómetras, es haber encontrado una regla para los hexágonos convexos. Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. el resto de los hexágonos no regulares sean cóncavos o convexos, no pueden teselar el plano.

Las telas metálicas utilizan mucho esta ventaja pues asocian la ventaja del teselado exagonal, ser el sistema de dejar huecos con una superficie determinada utilizando la mínima longitud de los lados, con la ventaja de teselar el plano aunque haya falta de precisión de los lados horizontales del teselado.

Hace muchos tiempo,casi un siglo, en 1918, se demostró que solo existen tres familias, de polígonos convexos idénticos, un polígono y su simétrico) y no más, de hexágonos que teselan. Uno es el polígono regular, otro son los polígono iregulares con simetría central como la tele metálica,

La ternera familia esta p formado por polígomos exagonales irregulares ,uy determinados

También se ha demostrado como indicamos al principio que no existen polígonos convexos con más de seis lados que puedan teselar. Se entiende que nos referimos a polígonos idénticos (congruentes), ya que, por ejemplo, se puede teselar el plano con heptágonos convexos distintos.

Como ven, nada se dice de los cóncavos. pues el ejemplo con el que abrí y otros muchos, como el que pongo a continuación, demuestran que si son cóncavos si que pueden algunos enbaldosar el plano.

tesela irregular (2)

Pero queda un hueso duro de roer que son los pentágonos convexos, hay un teselado muy popular de pentágonos irregulares llamado teselado “El Cairo”, formado con pentágonos con dos ángulos rectos (90º), un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°, lo que en conjunto hacen los 540º que tienen que sumar los ángulos interiores de todos los pentágonos. Se denomina así, porque aparece frecuentemente en las valles del “EL Cairo” y es utilizado profusamente en el arte y la decoración árabe.

Pero no es la única que se conoce, en 1918, Karl Reindhart descubrió cinco tipos y en 1968 se añadieron otros tres, y que esto de las matemáticas no es cosa de genios, sino de gente curiosa, lo demuestra que un ama de casa, Marjorie Rice, aportó cuatro en 1975. Un penúltimo teselado de pentágonos se descubrió en 1985, hace 30 años.

Últimamente se descubrió otro mas, el quince que se conoce, pero este si que lo han descubierto matemáticos profesionales, y por el método más basto, utilizando toda la potencia de un superordenador. Científicos de la Universidad de Washington Bothell (EE.UU.) han encontrado un nuevo tipo de pentágono convexo, para ello han utilizado cálculo computacional, a través de un conjunto grande pero finito de posibilidades.

Como se ven las matemáticas es más genio que fuerza bruta, utilizando cálculos masivos han encontrado uno, donde utilizando solo su cerebro Marjorie Rice encontró cuatro que se le habían escapado a Karl Reindhart, que consiguió el Guiness de teselados pentagonaales con 5 diferentes hace sesenta años antes.

Aquí les dejo los quince teselados de pentágonos convexos que se conocen.

Félix Maocho

Vía Tendencias 21

26 agosto 2015 - Posted by | ciencia, Diseño y decoración | ,

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