Felix Maocho

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Ciencia – Una niña descubre una nueva forma de sumar los 100 primeros dígitos

Por Félix Maocho
31/10/2012

Antiguamente  y cuando digo antiguamente me refiero a antes del siglo XII por ejemplo, un castigo típico cuando los alumnos de una clase de Matemáticas se revolucionaban más de lo debido, era hacerles sumar los  100 primeros números, algo asi como hacer repetir una misma frase en la pizarra 100 veces qu le castigan a hijo de los Simpson.

Este castigo se popularizó en las aulas y se siguió siguió utilizando hasta el siglo XVIII cundo un maestro de primaria  castigó a un niño de siete años, esperando tenerle ocupado un buen rato, pero para su sorpresa, a los 5 minutos le entregó la solución.

Lo normal, lo que todos hacenos, es  empezara por sumar 1+2=3  3+3=6  y asi ir sumando hasta llegar al número 100. Este joven hizo algo que no esta previsto.  colocó en dos filas los números del 1 al 100 y del 100 al y los mismos números pero invertidos y los sumó

  1 +  100 =  101
2  +    99 =  101
3  +    98 =  101
. . . . .  . . . . . . . .
98  +   3 =
99  +   2 =
100  +  1 =

No tuvo que sumar muchos números n para darse cuenta que siempre sumaban 101, como tenía 100 números la suma total era 100 veces 101 = 10100 y como eso era el doble de lo que tenía que sumar el valñor que le pedían era 5050

El joven que a los 7 años fue capaz de descubrir un sistema rápido de sumar los 100 primeros números se llamaba Friedrich Gauss,y ha sido uno de los mejores matemáticos que han existido y de el hablamos en el post anterior de Ciencia a cerca de su descubrimiento de las geometrías hiperbólica y elipsoidal.

Doscientos años después de ese descubrimiento una niña de 12 años descubre otra forma de sumar los 100 primeros números. Copio de una noticia de EUROPA PRESS (que como ocurre con frecuencia está incorrectamente redactada)

Una alumna de 1º de Bachillerato del Instituto Máximo Trueba de la localidad madrileña de Boadilla del Monte, Marta Espejel, ha encontrado un nuevo procedimiento que simplifica la suma de los cien primeros números naturales. Según los profesores del centro el método utilizado por la estudiante es “asombroso”.

Según se explica en el blog de matemáticas que gestionan los profesores del centro (http://revistasacitametam.blogspot.com.es/2012/10/suma-asombrosa-de-los-cien-primeros.html) para llevar a cabo esta operación, la alumna escribió en su pizarra los 16 primeros términos, es decir, halló la suma de los dos primeros, de los tres primeros, de los cuatro primeros, y así hasta llegar a la suma de los 16 primeros términos.

1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
1+2+3+4+5+6+7=28
1+2+3+4+5+6+7+8=36
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=120
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136

A partir de ahí, primero agrupó los resultados de dos en dos y observó que cada uno de los agrupamientos era múltiplo de 3, de 5, de 7 y así sucesivamente, o sea la serie de los números impares iniciándose en el 3. .

Posteriormente, vió que cada uno de estos resultados se descomponía en  el producto de dos factores, siendo el primer elemento el producto el números impar de la serie que correspondiera y el otro factor un numero entero que iba aumentando de uno en uno..

 3 y 6 _____ múltiplos de  3 ___ 3×1 =   3  ____ 3×2=   6
10 y 15 ___ múltiplos de   5 ___ 5×2 =  10 ____ 5×3=  15
21 y 28 ___ múltiplos de   7 ___ 7×3 =  21 ____ 7×4=  28
36 y 45 ___ múltiplos de   9 ___ 9×4 =  36 ____  9×5=  45
55 y 66 ___ múltiplos de 11 __  11×5 =  55 ____ 11×6=  66
78 y 91 ___ múltiplos de 13 __  13×6 =  78 ____13x7=  91
105 y 120 _ múltiplos de 15 __  15×7 = 105 ___  15×8= 120

La suma de los 16 primeros términos sería   17x 8 = 136 lo que es cierto

De modo que la formula general para la suma de un numero par de elementos es

(N+1)x (N/2)=X

Mientras que para un número impar sera

Nx((N+1)/2) =X

Siendo N el un numero  de téerminos a sumar y X la suma buscada.

Por ejemplo para la suma de los 6 primeros términos  será  (N=6 . par)

(6+1)x(6/2) =  7 x 3 = 21

Mientras que la suma de los 7 primeros será  (N=7 impar)

7x ((7+1)/2) =  7 x 4 = 28

Como 100 es par habrá que urtilizar la primera formula

(100+1) X(100?2) = 101 X 50 = 5050

Cifra que se corresponde a la que Gauss calculó por otro procedimiento hace más de doscientos años, ¿Nos encontraremos ante otro genio de las matemáticas.?

Félix Maocho

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31 octubre 2012 - Posted by | ciencia | , ,

7 comentarios »

  1. cientificamente !no entendi!

    Comentario por sami | 23 julio 2014 | Responder

  2. las dos formulas arrojan el mismo resultado

    Comentario por Leo | 15 agosto 2014 | Responder

    • ¿Y que esperabas?

      Comentario por felixmaocho | 16 agosto 2014 | Responder

      • Que la formula para números pares no funcionara para el calculo ennúmeros impares y viceversa

        Comentario por Leonardo | 16 agosto 2014

      • Tienes razón el orden de los factores no altera el producto. La fórmuna general es
        Nx(N+1)/ 2 = X en todos los casos

        para N =100 100×101/2 = 5050 (Valor correcto)
        Para N =101 101×102/2 = 10302/2 = 50151 = 5050+101 (Valor correcto)

        Comentario por felixmaocho | 16 agosto 2014

  3. esa formula ya viene los libros de matematicas…. Ah, por cierto, la fórmula de la suma aritmética de números enteros (1+2+3+…+n = n(n+1)/2) se conoce, como mínimo, desde el s. VIII.

    Comentario por Emmanuel Mtz | 30 enero 2015 | Responder

    • Lo que es asombroso es que un niño la descubra la forma de sumar una serie por si mismo, no la formula en si. El estudio de la suma de series aritméticas es una de las ramas clásicas de las matemáticas.

      Comentario por felixmaocho | 30 enero 2015 | Responder


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