Felix Maocho

Para quien le interese lo que a nosotros nos interesa

Ciencia – Geometría euclídea, hiperbólica, elipsoidal y de Riemman.

Por Félix Maocho
26/10/2012

De todas las ciencias la geometría, del griego γεωμετρία, geo tierra y metría medida, que estudia las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, puede que sea la más antiguas, pues eran un cuerpo de conocimientos prácticos para el uso de longitudes, áreas y volúmenes..

Los inicios de esta ciencia proceden de la antigua Caldea y pero fue el griego Euclides quien 300 años antes de Cristo estableció en su tratado Elementos, cinco axiomas o postulados que parecen ciertos intuitivamente pero que no son demostrables:

  • 1. Siempre se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
  • 2. Siempre se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
  • 3. En cualquier punto siempre se puede trazar una circunferencia con un radio dado.
  • 4. Desde un punto dado, siempre es posible trazar una perpendicular a una recta dada.
  • 5. Si una recta corta dos rectas, y los ángulos internos del mismo lado son menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Sobre estos cimientos de axiomas indemostrables se levantó toda la geometría. llamada por eso Euclidiana, mediante teoremas lógicos, que resisten cualquier posibilidad de fallo, como por ejemplo el Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo,,La suma de los ángulos interiores del triángulo valen exactamente dos rectos”, que siempre resistieron su validez frente a los avances que esta ciencia fue teniendo en los siglos posteriores.

Sin embargo, algo molestaba a los geómetras de todos los tiempos, mientras que los cuatro primeros axiomas son claros y se definían en una sola línea, el quinto, era farragoso y le faltaba la claridad de los cuatro primeros, por lo que no faltaron intentos, desde el mismo momento que se definieron. de demostrar que el quinto axioma, no era tal, sino que se podía demostrar a partir de los cuatro anteriores.

No faltaron intentos desde los griegos gasta el siglo XIX, de encontrar una demostración que explicara el quinto axioma utilizando solo los cuatro anteriores, pero siempre las mentes mas preclaras que lo intentaron, fracasaron en el intento.

Fue al comienzo del siglo XIX, cuando otra mente excepcional, Gauss, (y como siempre ocurre en la ciencia, otras personas de manera independiente y simultánea, Lobachevski,  Bolyai y Schweickard, pero el honor corresponde a Gauss, pues fue el quien se anticipó y dio a conocer su descubrimiento a la comunidad científica), pensó que si bien nunca habían conseguido demostrar que el quinto postulado se derivaba de los anteriores, cabía la posibilidad de demostrar al menos, que era siempre se cumplía y por lo tanto no era un axioma, pues aunque no se supiera cómo se derivaba de los otros cuatro, si quedaba demostrado que siempre era cierto, dejaba de ser un axioma, para ser un problema por resolver como se derivaba de los cuatro anteriores.

Para ello utilizo un recurso lógico que es la demostración por reducción al absurdo, es decir partir de la base de que ocurre que los ángulos interiores sumen menos de dos rectos, y que pese a ello las rectas fueran paralelas, por lo que no se cortaban en ningún punto.

Comenzó pues con este quinto postulado cambiado a recorrer todos los teoremas conocidos, esperando llegar a un absurdo que demostrara que el quinto postulado era cierto siempre, por no poder ser falso. Pero he aquí, que a medida que avanzaba por la Geometría llegaba a conclusiones diferentes, pero que no necesariamente demostraban que fuesen falsas. Por poner un ejemplo, el conocido teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo àsaba a decir La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre inferior a dos rectos“.

Y así iba adentrándose en una geometría posible, pero aparentemente absurda, hasta que se dio cuenta, que lo que pasaba que esa geometría no se adaptaba a la superficie plana como la euclidiana, sino que la superficie que la sustentaba estaba abarquillado con una forma de una silla de montar, o sea, los planos eran una superficie hiperbólica, pues realmente en ella, un triángulo que se pinten sobre ella siempre tiene por suma de sus ángulos interiores menos de 180 grados.

Puesto ya a probar cosas raras, partió de lo contrario, que el quinto axioma admitía que si los dos ángulos interiores sumaban más de dos rectos, pese a todo se formaba un rectángulo. En este caso el teorema anterior  pasaba a tener la redacción siguiente “La suma de los ángulos interiores de un triángulo miden siempre más de dos rectos”.

Con la experiencia adquirida, rápidamente fue escalando por los teoremas de la geometría clásica, llegando a formular otra geometría tambien consistente, en el que el plano adquiría en este caso la forma de una elipsoide, que tiene a su vez un caso excepcional, que se da cuando la elipse se trasforma en una esfera, y la geometría esférica si era ya conocida por los geómetras y en ella en efecto los ángulos del triángulo tiene más de dos rectos, como se ve en los triángulos formados por dos meridianos y el ecuador, que forman ángulos rectos en la intersección de meridianos y el ecuador y aun hay un valor para el ángulo que los meridianos forman en el polo.

Así, de un plumazo, descubrió dos geometrías similares a la euclidiana, la hiperbólica y la elíptica y consiguió la gloria como geómetra.

  • La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene el plano que la sustenta tiene curvatura cero.
  • La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y  curvatura negativa.
  • La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Abierta la senda a imaginar otras geometrías, Riemman al final del siglo XIX, definió una geometría más general que englobaba las anteriores como casos particulares.

Estas tres geometrías son casos excepcionales, en la misma medida que lo es la geometría esférica respecto de la parabólica, pues las tres geometrías tiene en común considerar constante sea nula positiva o negativa, la curvatura intrínseca del plano que las sustenta.

Si esta curvatura intrínseca no es constante, sino que se admite la posibilidad de que varíe de un punto a otro, se tiene una geometría más general llamada en honor a su descubridor riemanniana, que es precisamente la que se aplica para averiguar las deformaciones no homogéneas en la curvatura del espacio-tiempo. Estando estas deformaciones provocadas por las concentraciones de masa, lo que percibimos como un campo gravitatorio, que atrae a otras masas que se encuentren en las proximidades.

La imagen simplificada de esta geometría, es una superficie de goma elástica en la que se han situado diversas bolas de hierro, y digo que es simplificada, porque en esa imagen estamos viendo solo dos dimensiones y la curvatura se transmite en las tres dimensiones, lo que variaría por decirlo de una forma simplificada y gráfica, es la densidad del espacio alrededor de las masas.

Félix Maocho

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26 octubre 2012 - Posted by | ciencia | , , , , ,

4 comentarios »

  1. Hola, un saludo de Jesús desde La Coruña. El artículo es ciertamente muy interesante, pero repite varias veces el mismo error al referirse al Teorema de Pitágoras. Éste dice que en un triángulo rectángulo el valor del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. No habla para nada del valor de los ángulos interiores. Saludos.

    Comentario por Jesús Neira | 27 octubre 2012 | Responder

    • Toda la razón, el teorema al que me refiero, aparece demostrado en ne los Elementos de Euclides y no tiene nombre espeçífico. Paso a corregir el error, Muchas gracias por avisar.

      Comentario por felixmaocho | 28 octubre 2012 | Responder

  2. Buen artículo, y el remate me encantó, por fin una ilustración que se ajustaría más a cómo la gravedad actúa, que las típicas representaciones de una tela con esferas encima.

    Salud.

    Comentario por mikailtown | 5 marzo 2014 | Responder

    • Agradecido de su comentario, aunque he de reconocer, que mi mérito sobre la imagen tridimensional de la curvatura espacio temporal se reduce a haberla seleccionado entre las que hay en Internet. A mi también me pareció muy buena.

      Comentario por felixmaocho | 5 marzo 2014 | Responder


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